题目内容

已知椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在坐标轴上，其离心率为
2
2
，且与x轴的一个交点为（1，0）．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知椭圆C过点（0，
2
2
），P是椭圆C上任意一点，在点P处作椭圆C的切线l，F1，F2到l的距离分别为d1，d2．探究：d1•d2是否为定值？若是，求出定值；若不是说明理由（提示：椭圆mx2+ny2=1在其上一点（x0，y0）处的切线方程是mx0x+ny0y=1）；
（3）求（2）中d1+d2的取值范围．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）由题，
c
a
=
1-(
b
a
)2
=
2
2
⇒(
b
a
)2=
1
2
，利用椭圆C与x轴的一个交点为（1，0），分类讨论求椭圆C的标准方程；
（2）确定椭圆C方程为x2+2y2=1，设P（m，n），则l的方程是mx+2ny=1，求出d1•d2，结合m2+2n2=1，即可得出结论；
（3）先化简d1+d2，再求d1+d2的取值范围．
解答： 解：（1）由题，
c
a
=
1-(
b
a
)2
=
2
2
⇒(
b
a
)2=
1
2
，
因为椭圆C与x轴的一个交点为（1，0），则
若a=1，则b2=
1
2
，则椭圆C方程为x2+2y2=1；
若b=1，则a2=2，则椭圆C方程为x2+
y2
2
=1．
故所求为x2+
y2
1
2
=1或x2+
y2
2
=1；
（2）因为椭圆C过点(0，
2
2
)，故椭圆C方程为x2+2y2=1，且F1(-
2
2
，0)，F2(
2
2
，0)
设P（m，n），则l的方程是mx+2ny=1，
则d1•d2=
|-
2
2
m-1|
m2+4n2
|
2
2
m-1|
m2+4n2
=
|1-
1
2
m2|
m2+4n2
，
因为-1≤m≤1，所以1-
1
2
m2＞0，
故d1•d2=
1-
1
2
m2
m2+4n2
，
又因为m2+2n2=1，代入可得d1d2=
1
2
，故d1•d2为定值
1
2
；
（3）由题d1+d2=
|-
2
2
m-1|
m2+4n2
+
|
2
2
m-1|
m2+4n2
=
1+
2
2
m+1-
2
2
m
m2+4n2
=
2
m2+4n2
=
2
1+2n2

因为0≤n2≤
1
2
，所以d1+d2∈[
2
，2]．
点评：本题考查椭圆方程，考查点到直线距离公式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
函数f（x）=ex-1的值域是
 
．
已知函数f（x）=
1
x
+log2
1-x
1+x
，求函数f（x）的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性．
已知函数f（x）=x2-（x-a）|x-a|-x（a∈R）．
（Ⅰ）若f（x）在R上是单调递减函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）设g（x）=ax+1，x∈（-∞，a]，求不等式f（x）≥g（x）的解集．
已知f（1，1）=1，f（m，n）∈N*（m，n∈N*），且对任意m，n∈N*都有：
①f（m，n+1）=f（m，n）+3；②f（m+1，1）=2f（m，1）
对于以下四个命题：
（1）数列{f（m，2015）}是等比数列；
（2）数列{f（2015，n）}是等差数列；
（3）f（1，1）+（1，2）+…+f（1，2015）=22015-1；
（4）f（1，1）+f（2，1）+…+f（2015，1）=22015-1；
其中真命题的序号为：
 
．
下列函数中，在区间（1，+∞）上为增函数的是（　　）
A、y=2x-1
B、y=
1
x-1
C、y=-（x-1）2
D、y=log  
1
2
（x-1）
求证logab=
1
logba
．
“a=1”是“直线ax+y=1与直线x+ay=2平行”的（　　）
A、充分而不必要条件
B、必要而不充分条件
C、充要条件
D、既不充分也不必要条件
如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC外接圆的直径，AB=6，AC=4，AD=3，则AE的长为
 
；

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