Question

在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点.

(Ⅰ) 求证：DE∥平面ACF；

(Ⅱ)若AB=，在线段EO上是否存在点G，使CG⊥平面BDE？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

 

Answer 1

解析（Ⅰ）证明：连接OF.

由四边形ABCD是正方形可知，点O为BD的中点．

又F为BE的中点，所以OF ∥DE．

又OF平面ACF，DE平面ACF，

所以DE∥平面ACF．

(Ⅱ)解法一：若CG⊥平面BDE，则必有CG⊥OE，

于是作CG⊥OE于点G．

由EC⊥底面ABCD，所以BD⊥EC，又底面ABCD是正方形，

所以BD⊥AC，又EC∩AC=C，所以BD⊥平面ACE．分

而CG平面ACE，所以CG⊥BD．

又OE∩BD=O，所以CG⊥平面BDE．

又AB=，所以，

所以G为EO的中点，所以.

解法二：取EO的中点G，连接CG．在四棱锥E—ABCD中，

AB=，，所以CG⊥EO．

又由EC⊥底面ABCD，BD底面ABCD，所以EC⊥BD，

由四边形ABCD是正方形可知，AC⊥BD，

又AC∩EC=C，

所以BD⊥平面ACE，

而BD平面BDE，

所以，平面ACE⊥平面BDE，且平面ACE∩平面BDE=EO，

因为CG⊥EO，CG 平面ACE，所以CG⊥平面BDE，

故在线段EO上存在点G，使CG⊥平面BDE．

由G为EO的中点，得.