题目内容
【题目】已知二次函数
的图象过点
，且与
轴有唯一的交点
.
（1）求
的表达式；
（2）设函数
，若
上是单调函数，求实数
的取值范围；
（3）设函数
，记此函数的最小值为
，求
的解析式.
【答案】（1）
（2）
或
（3）见解析
【解析】试题分析：（1）由已知条件分别求出
的值，得出解析式；（2）求出函数
的表达式，由已知得出区间
在对称轴的一侧，进而求出
的范围；（3）函数
，对称轴
，图象开口向上，讨论不同情况下
在
上的单调性，可得函数
的最小值
的解析式。
试题解析：（1）依题意得
， 
， 
解得
， 
， 
，从而
；
（2）
，对称轴为
，图象开口向上
当
即
时， 
在
上单调递增，
当
即
时， 
在
上单调递减，
综上， 
或
（3）
，对称轴为
，图象开口向上
当
即
时， 
在
上单调递增，
此时函数
的最小值
当
即
时， 
在
上递减，
在
上递增
此时函数
的最小值
；
当
即
时， 
在
上单调递减，
此时函数
的最小值
综上，函数
的最小值
.
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