Question

【题目】平面直角坐标系 中，过椭圆 ： （ ）右焦点的直线 交 于 ， 两点， 为 的中点，且 的斜率为 .
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ） ， 为 上的两点，若四边形 . 的对角线 ，求四边形 面积的最大值.

Answer 1

【答案】解：(Ι)设 则 ， ，（1）－（2）得：

， ，设 ，因为P为AB的中点，且OP的斜率为 ，所以 ，即 ，所以可以解得 ，即 ，即 ，又因为 ，所以 ，所以M的方程为 .

（Ⅱ）因为CD⊥AB，直线AB方程为 ，所以设直线CD方程为 ，

将 代入 得： ，即 、 ，所以可得

；将 代入 得： ，设 则

= ，又因为 ，即 ，所以当 时，|CD|取得最大值4，所以四边形ACBD面积的最大值为

【解析】(1)利用“点差法”结合椭圆的方程M求出直线的斜率的代数式，因为直线的方程已知进而可求出焦点F的坐标，利用椭圆里a、b、c的关系联立以上两个方程即可求出a、b的值进而得到椭圆的方程。(2)根据题意联立直线和椭圆的方程即可得出两个点的坐标，再利用弦长公式以及两点间的距离公式代入数值分别求出|AB|、|CD|的代数式，因为直线和椭圆有两个交点所以联立消元后的方程判别式大于零，因此求出m的取值范围，然后把以上式子代入到四边形的面积公式，结合二次函数的最值情况即可求出面积的最大值。