Question

已知圆C：x²+y²+2x-4y+3=0．
（1）若圆C的切线在x轴和y轴上截距相等，求切线的方程；
（2）若为圆C上任意一点，求的最大值与最小值；
（3）从圆C外一点P（x，y）向圆引切线PM，M为切点，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求当|PM|最小时的点P的坐标。

Answer 1

（1）或；或，或；（2）最大值为-1，最小值为-7．；（3）当y=即P（）时，|PM|最小．

试题分析：（1）当截距为0时，设出切线方程为y=kx，同理列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，得到切线的方程；当截距不为零时，根据圆C的切线在x轴和y轴的截距相等，设出切线方程x+y=b，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到切线的距离d，让d等于圆的半径r，列出关于b的方程，求出方程的解即可得到b的值，得到切线的方程；（2）设，则表示直线MA的斜率；其中A（1，-2）是定点；因为在圆C上，所以圆C与直线MA有公共点，而直线MA方程为：y+2=(x-1)，则有：C点到直线MA的距离不大于圆C的半径，即：，解得：，即可求出的最大值为和最小值；（3）根据圆切线垂直于过切点的半径，得到三角形CPM为直角三角形，根据勾股定理表示出点P的轨迹方程，由轨迹方程得到动点P的轨迹为一条直线，所以|PM|的最小值就是|PO|的最小值，求出原点到P轨迹方程的距离即为|PO|的最小值，然后利用两点间的距离公式表示出P到O的距离，把P代入动点的轨迹方程，两者联立即可此时P的坐标．
解：圆C的方程为：（x+1）²+（y-2）²=2
（1）圆C的切线在x轴和y轴上截距相等时，切线过原点或切线的斜率为；
当切线过原点时，设切线方程为：y=kx，相切则：，得；
当切线的斜率为时，设切线方程为：y=-x+b，由相切得：，
得b=1或b=5;故所求切线方程为：或；或，或
（2）设，则表示直线MA的斜率；其中A（1，-2）是定点；
因为在圆C上，所以圆C与直线MA有公共点，
而直线MA方程为：y+2=(x-1)，则有：C点到直线MA的距离不大于圆C的半径
即：，解得：，即的最大值为-1，最小值为-7．
（3）由圆的切线长公式得|PM|²=|PC|²-R²=（x+1）²+（y-2）²-2;
由|PM|=|PO|得：（x+1）²+（y-2）²-2=x²+y²;即2x-4y+3=0， 即x=2y-
此时|PM|=|PO|=
所以当y=即P（）时，|PM|最小．