Question

7．已知实数x，y满足不等式组$\left\{{\begin{array}{l}{|x|≤π}\\{|y|≤π}\\{sin（x+y）≥0}\end{array}}\right.$，则x+2y的取值范围是[-3π，2π]∪{3π}．

Answer 1

分析 将不等式组进行化简，作出不等式组对应的平面区域利用目标函数的几何意义进行求解即可．

解答 解：不等式等价为$\left\{\begin{array}{l}{-π≤x≤π}\\{-π≤y≤π}\\{-2π≤x+y≤-π或0≤x+y≤π}\end{array}\right.$，
作出不等式组对应的平面区域如图：
则A（-π，-π），B（-π，0），C（0，π），D（π，π）．
设z=x+2y，则y=-$\frac{1}{2}x+\frac{z}{2}$，
平移直线y=-$\frac{1}{2}x+\frac{z}{2}$，由图象可知当直线y=-$\frac{1}{2}x+\frac{z}{2}$经过点A时，z=-π-2π=-3π，
经过点B时，z=-π，经过C点时，z=2π，
则-3π≤z≤2π，
当直线y=-$\frac{1}{2}x+\frac{z}{2}$经过点D时，z=π+2π=3π，
综上-3π≤z≤2π或x=3π，
即x+2y的取值范围是[-3π，2π]∪{3π}；
故答案为：[-3π，2π]∪{3π}；

点评 本题主要考查线性规划的应用，作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合是解决本题的关键．