题目内容
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H为BC、CD、CC1、C1D1中点．（Ⅰ）求证：A1G⊥平面EFC1；
（Ⅱ）求证：BH∥平面EFC1．
【答案】分析：（I）以DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，设正方体的边长为2，求出向量
、
、
的坐标，然后根据数量积为零证得
，
，从而证得结论；
（II）根据
=
，则
、
、
共面，又BH不在平面EFC1内，根据线面平行的判定定理可知BH∥平面EFC1．
解答：解：如图，建立坐标系D-xyz，设正方体的边长为2，则各点的坐标为：A1（2，0，2）、B1（2，2，2）、C1（0，2，2）、D1（0，0，2）、B（2，2，0）、E（1，2，0）、F（0，1，0）、G（0，2，1），H（0，1，2）
（Ⅰ）∵
，
，
∴
∴
∵
∴
而EF∩C1E=E
∴A1G⊥平面EFC1
（Ⅱ）∵
=
，
∴
、
、
共面．
又BH不在平面EFC1内，∴BH∥平面EFC1
点评：本题主要考查了利用空间向量的方法证明线面垂直，以及线面平行，同时考查了计算能力，属于中档题．
、、的坐标，然后根据数量积为零证得，，从而证得结论；（II）根据
=，则、、共面，又BH不在平面EFC1内，根据线面平行的判定定理可知BH∥平面EFC1．解答：解：如图，建立坐标系D-xyz，设正方体的边长为2，则各点的坐标为：A1（2，0，2）、B1（2，2，2）、C1（0，2，2）、D1（0，0，2）、B（2，2，0）、E（1，2，0）、F（0，1，0）、G（0，2，1），H（0，1，2）
（Ⅰ）∵
，，∴
∴
∵
∴
而EF∩C1E=E∴A1G⊥平面EFC1
（Ⅱ）∵
=，∴
、、共面．又BH不在平面EFC1内，∴BH∥平面EFC1
点评：本题主要考查了利用空间向量的方法证明线面垂直，以及线面平行，同时考查了计算能力，属于中档题．
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