Question

【题目】椭圆：的左、右焦点分别是，，离心率为，左、右顶点分别为，.过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）经过点的直线与椭圆相交于不同的两点、（不与点、重合），直线与直线相交于点，求证：、、三点共线.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

（1）根据已知可得，结合离心率和关系，即可求出椭圆的标准方程；

（2）斜率不为零，设的方程为，与椭圆方程联立，消去，得到纵坐标关系，求出方程，令求出坐标，要证、、三点共线，只需证，将分子用纵坐标表示，即可证明结论.

（1）由于，将代入椭圆方程，

得，由题意知，即.

又，所以，.

所以椭圆的方程为.

（2）解法一：

依题意直线斜率不为0，设的方程为，

联立方程，消去得，

由题意，得恒成立，设，，

所以，

直线的方程为.令，得.

又因为，，

则直线，的斜率分别为，，

所以.

上式中的分子

，

.所以，，三点共线.

解法二：

当直线的斜率不存在时，由题意，得的方程为，

代入椭圆的方程，得，，

直线的方程为.

则，，，

所以，即，，三点共线.

当直线的斜率存在时，

设的方程为，，，

联立方程消去，得.

由题意，得恒成立，故，.

直线的方程为.令，得.

又因为，，

则直线，的斜率分别为，，

所以.

上式中的分子

所以.

所以，，三点共线.