Question

【题目】已知函数．

（Ⅰ）若，求的单调性和极值；

（Ⅱ）若函数至少有1个零点，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）在上单调递减，在上单调递增，极小值为-2，无极大值 （Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）求导得到，分别得到当时，，当时，，判断出单调性，从而得到其极值；

（Ⅱ）根据题意得到，令，求导得到，由得，令，由零点存在定理得到存在，使得，由得到的最小值，再对的零点进行分类讨论，得到答案.

（Ⅰ）当时，，

∴

当时，，，

∴，

当时，，，

∴

∴在上单调递减，在上单调递增

在处取得极小值，极小值为，无极大值

（Ⅱ）∵，

由得

令，

则

由得．

令，当时，，

∴在单调递增，

∵，，

∴存在，使得

且当时，，即，

当时，，即

∵，，

∴当时，；

当时，，

∴在上单调递减，在上单调递增

∴在处取得最小值

∵，

∴，即，

∴，即

∴当时，函数无零点，

当时，∵，

∴函数至少有1个零点，

故的取值范围是.