Question

在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）为动点，已知点A（

2

，0），B（-

2

，0），直线PA与PB的斜率之积为定值-

1

2

．
（Ⅰ）求动点P的轨迹E的方程；
（Ⅱ）若F（1，0），过点F的直线l交轨迹E于M、N两点，以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰在y轴上，求直线l的方程．

Answer 1

（Ⅰ）由题意

y

x- 2

•

y

x+ 2

=-

1

2

，
整理得

x2

2

+y2=1，所以所求轨迹E的方程为

x2

2

+y2=1(y≠0)，
（Ⅱ）当直线l与x轴重合时，与轨迹E无交点，不合题意；
当直线l与x轴垂直时，l：x=1，此时M(1，

2

2

)，N(1，-

2

2

)，以MN为对角线的正方形的另外两个顶点坐标为(1±

2

2

，0)，不合题意；
当直线l与x轴既不重合，也不垂直时，不妨设直线l：y=k（x-1）（k≠0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中点Q(

x1+x2

2

，k(

x1+x2

2

-1))，
由

y=k(x-1) x2 2 +y2=1

消y得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，
由

x1= 4k2+ △ 2(2k2+1) x2= 4k2- △ 2(2k2+1)

得

x1+x2= 4k2 2k2+1 x1•x2= 2k2-2 2k2+1

所以Q(

2k2

2k2+1

，-

k

2k2+1

)，
则线段MN的中垂线m的方程为：y+

k

2k2+1

=-

1

k

(x-

2k2

2k2+1

)，
整理得直线m：y=-

x

k

+

k

2k2+1

，
则直线m与y轴的交点R(0，

k

2k2+1

)，
注意到以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰在y轴上，
当且仅当RM⊥RN，
即

RM

•

RN

=(x1，y1-

k

2k2+1

)•(x2，y2-

k

2k2+1

)=0，
x1x2+y1y2-

k

2k2+1

(y1+y2)+

k2

(2k2+1)2

=0，①
由

y1y2=k2[x1x2-(x1+x2)+1]=- k2 2k2+1 y1+y2=k(x1+x2-2)=- 2k 2k2+1

②
将②代入①解得k=±1，即直线l的方程为y=±（x-1），
综上，所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0．