Question

我们把由半椭圆(x≥0)与半椭圆(x≤0)合成的曲线称作“果圆”，其中a²＝b²＋c²，a＞0，b＞c＞0．

如图，设点F₀，F₁，F₂是相应椭圆的焦点，A₁，A₂和B₁，B₂是“果圆”与x，y轴的交点，M是线段A₁A₂的中点．

(1)若△F₀F₁F₂是边长为1的等边三角形，求该“果圆”的方程；

(2)设P是“果圆”的半椭圆(x≤0)上任意一点．求证：当|PM|取得最小值时，P在点B₁，B₂或A₁处；

(3)若P是“果圆”上任意一点，求|PM|取得最小值时点P的横坐标．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)， 　　， 　　于是， 　　所求“果圆”方程为，; 　　(2)设，则 　　 　　， 　　，的最小值只能在或处取到． 　　即当取得最小值时，在点或处; 　　(3)，且和同时位于“果圆”的半椭圆和半椭圆上，所以，由(2)知，只需研究位于“果圆”的半椭圆上的情形即可． 　　 　　． 　　当，即时，的最小值在时取到，此时的横坐标是． 　　当，即时，由于在时是递减的，的最小值在时取到，此时的横坐标是． 　　综上所述，若，当取得最小值时，点的横坐标是；若，当取得最小值时，点的横坐标是或．