Question

2．已知函数f（x）=$\frac{3}{1+{e}^{x}}$-a（a∈R，e为自然常数）．
（1）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明；
（2）是否存在实数a使函数f（x）是奇函数，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）直接由函数单调性的定义加以证明；（2）由奇函数的性质得f（0）=0，求得a的值，然后利用奇函数的定义证明a=1时函数f（x）为奇函数．

解答 （1）证明：函数f（x）的定义域为R，对任意x₁，x₂∈R，设x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{3{（e}^{{x}_{2}}{-e}^{{x}_{1}}）}{（1{+e}^{{x}_{1}}）（1{+e}^{{x}_{2}}）}$，
∵y=e^x是R上的增函数，且x₁＜x₂，
∴${e}^{{x}_{2}}$＞${e}^{{x}_{1}}$＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0．
即f（x₁）＞f（x₂），
∴函数f（x）为R上的减函数；
（2）解：若函数f（x）为奇函数，
则f（0）=$\frac{3}{2}$-a=0，
∴a=$\frac{3}{2}$．
当a=$\frac{3}{2}$时，f（x）=$\frac{3}{1+{e}^{x}}$-$\frac{3}{2}$=$\frac{-3{（e}^{x}-1）}{2{（e}^{x}+1）}$
∴f（-x）=$\frac{3}{1{+e}^{-x}}$-$\frac{3}{2}$=$\frac{3{（e}^{x}-1）}{2{（e}^{x}+1）}$=-f（x），
此时f（x）为奇函数，满足题意，
∴a=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了函数奇偶性的判断，考查了利用定义证明函数的单调性，是中档题．