Question

如图，在△ABC中，∠Ｃ=９0°，AC=3，BＣ=4，一条直线分△ABＣ的面积为相等的两部分，且夹在AB与BC之间的线段最短，求此线段长.

 

Answer 1

答案：
解析：

本题的关键在于恰当地选取变量表示夹在AB与BC之间的线段EF，同时考虑到题设中的等量关系，即S△BＥＦ=S△ABＣ，因此，所选变量还应便于求两个三角形的面积，于是考虑设BE=x，BＦ=y. 解：设BＥ=x，BＦ=y(0＜x＜4，0＜y＜５），则S△BＥＦ=BＥ·BＦsinB=xysinB 又S△ABＣ=BＣ·AＣ=×3×4=６ 依题意可知：S△BＥＦ=S△ABＣ ∴xysinB=×６=3 ∵sinB=，xy=10 又cosB= ∴在△BＥＦ中，由余弦定理得： ＥＦ2=BＥ2＋BＦ2－2BＥ·BＦ·cosB =x2＋y2－2xy· =x2＋y2－1６≥2xy－1６=4， 当且仅当x=y=时，等号成立. 故此时线段EF的长为2.