题目内容
如图,在△ABC中,设
=a,
=b,AP的中点为Q,BQ的中点为R,CR的中点恰为P.
(Ⅰ)若
=λa+μb,求λ和μ的值;
(Ⅱ)以AB,AC为邻边,AP为对角线,作平行四边形ANPM,求平行四边形ANPM和三角形ABC的面积之比
.
AB |
AC |
(Ⅰ)若
AP |
(Ⅱ)以AB,AC为邻边,AP为对角线,作平行四边形ANPM,求平行四边形ANPM和三角形ABC的面积之比
S平行四边形ANPM |
S△ABC |
分析:(Ⅰ)已知AP的中点为Q,BQ的中点为R,CR的中点恰为P.可得
=
,
=
,
=
,消去
,
,即可求解;
(Ⅱ)AB,AC为邻边,AP为对角线,作平行四边形ANPM其面积和三角形ABC的面积可以用公式s=
absinC,这个公式进行求解,再根据(Ⅰ)的结论很容易进行求解;
AP |
| ||||
2 |
AR |
| ||||
2 |
AQ |
1 |
2 |
AP |
AR |
AQ |
(Ⅱ)AB,AC为邻边,AP为对角线,作平行四边形ANPM其面积和三角形ABC的面积可以用公式s=
1 |
2 |
解答:解:(Ⅰ)∵在△ABC中,设
=a,
=b,
AP的中点为Q,BQ的中点为R,CR的中点恰为P.
=
,
=
,
=
,消去
,
∵
=λa+μb,
可得
=
(
)+
=
×
+
+
,
可得
=
+
=λ
+μ
,
∴
;
(Ⅱ)以AB,AC为邻边,AP为对角线,作平行四边形ANPM,
∵得
=
+
,
∴
=
=2•
•
=2×
×
=
;
AB |
AC |
AP的中点为Q,BQ的中点为R,CR的中点恰为P.
AP |
| ||||
2 |
AR |
| ||||
2 |
AQ |
1 |
2 |
AP |
AR |
AQ |
∵
AP |
可得
AP |
1 |
2 |
| ||||
2 |
1 |
2 |
AC |
1 |
4 |
1 |
2 |
AP |
1 |
4 |
AB |
1 |
2 |
AC |
可得
AP |
2 |
7 |
AB |
4 |
7 |
AC |
a |
b |
∴
|
(Ⅱ)以AB,AC为邻边,AP为对角线,作平行四边形ANPM,
∵得
AP |
2 |
7 |
AB |
4 |
7 |
AC |
∴
S平行四边形ANPM |
S平行四边形ABC |
|AN|•|AM|•sin∠CAB | ||
|
|AN| |
|AB| |
|AM| |
|AC| |
2 |
7 |
4 |
7 |
16 |
49 |
点评:此题主要考查向量中点的应用以及三角形面积公式的应用,本题涉及三角形中位线定理,以及向量中点的巧妙应用,是一道好题;
练习册系列答案
相关题目
如图,在△ABC中,D是边AC上的点,且AB=AD,2AB=
BD,BC=2BD,则sinC的值为( )
3 |
A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
|