题目内容

如图,在△ABC中,设
AB
=a
AC
=b
,AP的中点为Q,BQ的中点为R,CR的中点恰为P.
(Ⅰ)若
AP
=λa+μb
,求λ和μ的值;
(Ⅱ)以AB,AC为邻边,AP为对角线,作平行四边形ANPM,求平行四边形ANPM和三角形ABC的面积之比
S平行四边形ANPM
S△ABC
分析:(Ⅰ)已知AP的中点为Q,BQ的中点为R,CR的中点恰为P.可得
AP
=
AR
+
AC
2
AR
=
AQ
+
AB
2
AQ
=
1
2
AP
,消去
AR
AQ
,即可求解;
(Ⅱ)AB,AC为邻边,AP为对角线,作平行四边形ANPM其面积和三角形ABC的面积可以用公式s=
1
2
absinC
,这个公式进行求解,再根据(Ⅰ)的结论很容易进行求解;
解答:解:(Ⅰ)∵在△ABC中,设
AB
=a
AC
=b

AP的中点为Q,BQ的中点为R,CR的中点恰为P.
AP
=
AR
+
AC
2
AR
=
AQ
+
AB
2
AQ
=
1
2
AP
,消去
AR
AQ

AP
=λa+μb

可得
AP
=
1
2
AQ
+
AB
2
)+
1
2
AC
=
1
4
×
1
2
AP
+
1
4
AB
+
1
2
AC

可得
AP
=
2
7
AB
+
4
7
AC
a
b

λ=
2
7
μ=
4
7

(Ⅱ)以AB,AC为邻边,AP为对角线,作平行四边形ANPM,
∵得
AP
=
2
7
AB
+
4
7
AC

S平行四边形ANPM
S平行四边形ABC
=
|AN|•|AM|•sin∠CAB
1
2
|AB|•|AC|•sin∠CAB
=2•
|AN|
|AB|
|AM|
|AC|
=2×
2
7
×
4
7
=
16
49
点评:此题主要考查向量中点的应用以及三角形面积公式的应用,本题涉及三角形中位线定理,以及向量中点的巧妙应用,是一道好题;
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