Question

如图，在△ABC中，已知∠ABC=90°，AB上一点E，以BE为直径的⊙O恰与AC相切于点D，若AE=2cm，
AD=4cm．
（1）求：⊙O的直径BE的长；
（2）计算：△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）由切割线定理知，AD²=AE•AB=AE（AE+BE），由此可求得BE的长；
（2）由切线长定理知，CD=BC，由勾股定理知，AB²+BC²=AC²即8²+BC²=（4+BC）²，解得BC=6，则可由直角三角形的面积公式求得△ABC的面积．

解答：解：（1）∵AD是切线，AEB是圆的割线，
∴AD²=AE•AB=AE（AE+BE），解得BE=6cm；
（2）∵∠B=90°，
∴CB也是圆的切线，
∵CD也是圆的切线，则有CD=BC，
在Rt△ABC中，由勾股定理知，AB²+BC²=AC²即8²+BC²=（4+BC）²，解得BC=6cm，
∴S_△ABC=

1

2

AB•BC=24cm²．

点评：本题利用了切割线定理、切线长定理、勾股定理、切线的判定和性质、直角三角形的面积公式求解．