Question

(本题满分13分)

已知函数是上的偶函数．

（1）求的值;

（2）设,若函数与的图象有且只有一个公共点,求实数的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）。

【解析】本题考查对数函数的性质和应用，以及函数与函数的交点问题的运用，解题时要认真审题，注意函数的奇偶性的合理运用．

（1）利用函数是偶函数，可知f(-x)=f(x),列方程得到参数k的值。

（2）函数图像有且仅有一个交点，那么则有方程只有一个实根，那么转换化归可知参数a的范围。

解：（1）由函数是偶函数可知：

  ……………………………………………………2分

 即对一切恒成立  ……………………………………4分

 ………………………………………………………………………………………5分

（2）函数与的图象有且只有一个公共点

即方程有且只有一个实根 …………………………7分

化简得：方程有且只有一个实根          

令，则方程有且只有一个正根 …………………………9分

①，不合题意； ……………………………………………………………10分

②或 ………………………………………………………………………11分 

若，不合题意；若  ……………………………………12分

③一个正根与一个负根，即     

综上：实数的取值范围是…………………………………………………13分