题目内容

已知函数

⑴若时，函数在其定义域是增函数，求b的取值范围；

⑵设函数的图象C1与函数的图象C2交于P、Q，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C1、C2于点M、N，问是否存在点R，使C1在M处的切线与C2在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由。

解：（1）依题意：

∵上是增函数，∴恒成立，

∴∵

∴b的取值范围为

（2）设点P、Q的坐标是

则点M、N的横坐标为C1在M处的切线斜率为

C­2­在点N处的切线斜率

假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则

即

则

 

设…………………………①

令

则

∵  ∴     

所以上单调递增，

故       则

这与①矛盾，假设不成立

故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行。

练习册系列答案
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已知函数f（x）=ax3+bx+c为R上的奇函数，且当x=1时，有极小值-1；函g(x)=-
1
2
x3+
3
2
x+t-
3
t
(t∈R，t≠0)
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若对于任意x∈[-2，2]，恒有f（x）＞g（x），求t的取值范围．
已知函数f(x)=a-
1|2x-b|
是偶函数，a为实常数．
（1）求b的值；
（2）当a=1时，是否存在m，n（n＞m＞0）使得函数y=f（x）在区间[m，n]上的函数值组成的集合也是[m，n]，若存在，求出m，n的值，否则，说明理由；
（3）若在函数定义域内总存在区间[m，n]（m＜n），使得y=f（x）在区间[m，n]上的函数值组成的集合也是[m，n]，求实数a的取值范围．
已知函数f（x）=（x2-3x+3）ex，x∈[-2，t]（t＞-2）
（1）当t＜l时，求函数f（x）的单调区间；
（2）比较f（-2）与f （t）的大小，并加以证明；
（3）当函数自变量的取值区间与对应函数值的取值区间相同时，这样的区间称为函数的保值区间，设g（x）=f（x）+（x-2）ex，试问函数g（x）在（1，+∞）上是否存在保值区间？若存在，请求出一个保值区间；若不存在，请说明理由．
已知函数f(x)=a-
1|2x-b|
是偶函数，a为实常数．
（1）求b的值；
（2）当a=1时，是否存在m，n（n＞m＞o）使得函数y=f（x）在区间[m，n]上的函数值组成的集合也是[m，n]，若存在，求出m，n的值，否则，说明理由．
已知函数f（x）对任意的x，y∈R，总有f（x）+f（y）=f（x+y），且x＜0时，f（x）＞0．
（1）求证：函f（x）是奇函数；
（2）求证：函数f（x）是R上的减函数；
（3）若定义在（-2，2）上的函数f（x）满足f（-m）+f（1-m）＜0，求实数m的取值范围．

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