Question

已知函数f（x）对任意的x，y∈R，总有f（x）+f（y）=f（x+y），且x＜0时，f（x）＞0．
（1）求证：函f（x）是奇函数；
（2）求证：函数f（x）是R上的减函数；
（3）若定义在（-2，2）上的函数f（x）满足f（-m）+f（1-m）＜0，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f（x+y）=f（x）+f（y）可令x=y=0 有f （0 ）=0，令y=-x 代入即证；
（2）设x₂＞x₁则x₁-x₂＜0，由已知当x＜0时，f（x）＞0可得f（x₁-x₂）＞0，则f（x₁）=f[（x₁-x₂）+x₂]=f（x₁-x₂）+f（x₂）＞f（x₂）可证；
（3）移项，利用奇偶性进行化简，然后利用单调性建立不等式，注意定义域，从而可求出m的取值范围．

解答：（1）证明：∵f（x+y）=f（x）+f（y）
∴令x=y=0 有f （0 ）=0
令y=-x 有：0=f（0）=f（x+（-x））=f（x）+f（-x）
∴函数f（x）是奇函数；…（5分）
（2）证明：设x₂＞x₁则x₁-x₂＜0
∵当x＜0时，f（x）＞0
∴f（x₁-x₂）＞0
∴f（x₁）=f[（x₁-x₂）+x₂]=f（x₁-x₂）+f（x₂）＞f（x₂）
∴函数f（x）是R上的减函数
（3）解：∵f（-m）+f（1-m）＜0，∴f（-m）＜f（m-1），
且f（-m）+f（1-m）=f（1-2m）
∴

-2＜-m＜2 -2＜1-m＜2 -2＜1-2m＜2 -m＞m-1

，解得：-

1

2

＜m＜

1

2

．…（16分）

点评：本题主要考查了利用赋值法求解抽象函数函数值，及利用赋值判断函数的奇偶性，利用函数单调性求解函数的最值，利用构造条件判断抽象函数的单调性的技巧要求体会掌握，是函数知识的综合应用，属于中档题．