Question

已知函数f(x)=a-

1

|2x-b|

是偶函数，a为实常数．
（1）求b的值；
（2）当a=1时，是否存在m，n（n＞m＞o）使得函数y=f（x）在区间[m，n]上的函数值组成的集合也是[m，n]，若存在，求出m，n的值，否则，说明理由．

Answer 1

分析：（1）先求函数的定义域，由f（x）是偶函数可知定义域D关于原点对称，可求b
（2）由（1）可知f（x）在（0，+∞）上单调递增，在（-∞，0）上单调递减，结合已知n＞m＞0，可知y=f（x）在区间[m，n]上是增函数，从而有

1- 1 2m =m 1- 1 2n =n

，求解即可判断

解答：解：（1）∵f(x)=a-

1

|2x-b|

函数的定义域为{{x|x≠

1

2

b}
∵f（x）是偶函数
故定义域D关于原点对称，即b=0
（（2）由（1）可知，f（x）=a-

1

2|x|

定义域D=（-∞，0）∪（0，+∞）
∵f（x）在（0，+∞）上单调递增，在（-∞，0）上单调递减
∵n＞m＞0，
∴y=f（x）在区间[m，n]上是增函数．
∴有

1- 1 2m =m 1- 1 2n =n

即方程1-

1

2x

=x，整理可得2x²-2x+1=0
∵△=4-8＜0
∴不存在正实数m，n，满足题意

点评：本题主要考查了偶函数的定义的应用，其中定义域关于原点对称是求解b的关键，而函数的单调性的应用是求解（2）的关键