Question

如图，椭圆的右焦点F₂与抛物线y²=4x的焦点重合，过F₂作与x轴垂直的直线l与椭圆交于S，T，而与抛物线交于C，D两点，且．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若过m（2，0）的直线与椭圆E相交于两点A和B，设P为椭圆E上一点，且满足（O为坐标原点），求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由焦点F₂（1，0），过F₂作与x轴垂直的直线l与椭圆交于S，T，而与抛物线交于C，D两点，且，知|CD|=4，|ST|=，由此能求出椭圆方程．
（2）设过m（2，0）的直线为y=k（x-2），由，得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），，由此结合题设条件能求出实数t的取值范围．
解答：解：（1）∵椭圆的右焦点F₂与抛物线y²=4x的焦点重合，
∴焦点F₂（1，0），
∵过F₂作与x轴垂直的直线l与椭圆交于S，T，而与抛物线交于C，D两点，且．
∴|CD|=4，解得|ST|=，
∴a=，b=1，c=1，
∴椭圆E的方程是．
（2）设过m（2，0）的直线为y=k（x-2），
由，得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y），，
则，
2=+2=，
∴，
∵△=（8k²）²-4（1+2k²）（8k²-2）＞0，
∴0≤2k²＜1，
=1-，
∴t∈（-2，2）．
点评：本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．