题目内容

如图，椭圆 $数学公式$ 的右焦点为F，过焦点F作两条互相垂直的弦AB、CD，设弦AB、CD的中点分别为M、N．
（Ⅰ）求证：直线MN恒过定点T，并求出T的坐标；
（Ⅱ）求以AB、CD为直径的两圆公共弦中点的轨迹方程，并判断定点T与轨迹的位置关系．

解：（Ⅰ）∵F（1，0），不妨设AB的斜率存在且不为零，
设AB：y=k（x-1）
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ，同理 $\text{[math]}$ （3分）
∴MN过定点（ $\text{[math]}$ ），当AB的斜率不存在或为零时
同样MN过定点（ $\text{[math]}$ ），∴T（ $\text{[math]}$ ）．（7分）
（Ⅱ）以AB为直径的圆M的方程为：
$\text{[math]}$ ①（9分）
同理以CD为直径的圆N的方程为：
$\text{[math]}$ ②（11分）
①-②得公共弦直线方程为 $\text{[math]}$ ③
又MN直线方程 $\text{[math]}$ ④
由③、④消去R得两圆公共弦中点的轨迹方程为：（15分）
$\text{[math]}$
∴点T在圆上．
分析：（Ⅰ）设AB：y=k（x-1），由题意知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，同理 $\text{[math]}$ ，所以MN过定点（ $\text{[math]}$ ），当AB的斜率不存在或为零时同样MN过定点（ $\text{[math]}$ ），所以T（ $\text{[math]}$ ）．
（Ⅱ）以AB为直径的圆M的方程为： $\text{[math]}$ 同理以CD为直径的圆N的方程为：
$\text{[math]}$ ，由此可以判断定点T与轨迹的位置关系．
点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解题．