Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0），若双曲线上存在一点P使

sinPF1F2

sinPF2F1

=

a

c

，则该双曲线的离心率的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：不防设点P（x_o，y_o）在右支曲线上并注意到x_o≥a．利用正弦定理求得

sinPF1F2

sinPF2F1

=

PF 2

PF 1

，进而根据双曲线定义表示出|PF₁|和|PF₂|代入

PF 2

PF 1

=

a

c

求得e的范围．

解答：解：不防设点P（x_o，y_o）在右支曲线上并注意到x_o≥a．由正弦定理有

sinPF1F2

sinPF2F1

=

PF 2

PF 1

，
由双曲线第二定义得：|PF₁|=a+ex_o，|PF₂|=ex_o-a，
则有

exo-a

a+exo

=

a

c

，得x_o=

a(a+c)

ec-ea

＞a，
分子分母同时除以a²，易得：

1+e

e2-e

＞1，
解得1＜e＜

2

+1
故答案为（1，

2

+1）

点评：本题主要考查了双曲线的应用．考查了学生综合运用所学知识解决问题能力．