Question

1．若两点A（0，a）、B（0，b）（a＞b＞0），点P在x轴正半轴上运动，试求当∠APB取得最大值时P点的坐标．

Answer 1

分析 如图所示，设P（x，0），x＞0．则tan∠APO=$\frac{a}{x}$，tan∠BPO=$\frac{b}{x}$．tan∠APB=tan（∠APO-∠BPO），展开利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：如图所示，
设P（x，0），x＞0．
则tan∠APO=$\frac{a}{x}$，tan∠BPO=$\frac{b}{x}$．
∴tan∠APB=tan（∠APO-∠BPO）=$\frac{\frac{a}{x}-\frac{b}{x}}{1+\frac{a}{x}•\frac{b}{x}}$=$\frac{a-b}{x+\frac{ab}{x}}$≤$\frac{a-b}{2\sqrt{x•\frac{ab}{x}}}$=$\frac{a-b}{2\sqrt{ab}}$，当且仅当x=$\sqrt{ab}$时取等号．
此时P$（\sqrt{ab}，0）$，∠APB取得最大值arctan$\frac{a-b}{2\sqrt{ab}}$．

点评 本题考查了和差公式、基本不等式的性质、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．