Question

若函数f(x)=

1

3

x3+

1

2

x2-2x+a在定义域内有三个零点，则实数a的取值范围是（　　）

• A．(-

  13

  6

  ，-

  2

  3

  )
• B．[-

  13

  6

  ，-

  2

  3

  ]
• C．(-

  10

  3

  ，

  7

  6

  )
• D．[-

  10

  3

  ，

  7

  6

  ]

Answer 1

分析：已知条件转化为函数有两个极值点，并且极小值小于0，极大值大于0，求解即可得到实数a的取值范围．

解答：解：由函数f（x）=

1

3

x3+

1

2

x2-2x+a 有三个不同的零点，
则函数f（x）有两个极值点，极小值小于0，极大值大于0．
由f′（x）=x²+x-2=（x-1）•（x+2）=0，解得x₁=-2，x₂=1．
所以当 x∈（-∞，-2）时，f′（x）＞0，x∈（-2，1），f′（x）＜0，x∈（1，+∞），f′（x）＞0，
∴函数的极大值为f（-2）=

10

3

+a，极小值为 f（1）=-

7

6

+a．
因为函数f（x）=x³-3x+a有三个不同的零点，
∴

10 3 +a ＞0 -7 6 +a＜0

，解得-

10

3

＜a＜

7

6

，
故选C．

点评：本题是中档题，考查函数的导数与函数的极值的关系，考查转化思想，计算能力．