题目内容

若函数f(x)=
1
x
，x＞1
(3a-1)x+4a，x≤1
为R上的减函数，则实数a的取值范围为
[
2
7
，
1
3
)
[
2
7
，
1
3
)
．
分析：由题意利用函数的单调性的性质可得
3a-1＜0
1≤3a-1+4a
，由此求得实数a的取值范围．
解答：解：由于函数f(x)=
1
x
，x＞1
(3a-1)x+4a，x≤1
为R上的减函数，故有
3a-1＜0
1≤3a-1+4a
，
解得
2
7
≤a＜
1
3
，
故答案为 [
2
7
，
1
3
)．
点评：本题主要求函数的单调性的性质，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
若函数f(x)=
1
x
    x＜0
(
1
3
)x x≥0
则不等式|f(x)|≥
1
3
的解集为
 
．
若函数f(x)=
1
x
+
1
1-x
的定义域为（0，1），则f（x）的值域为（　　）
若函数f(x)=
1x+1
，则函数y=f（f（x））的定义域为
{x|x∈R，x≠-1且x≠-2}
{x|x∈R，x≠-1且x≠-2}
．
对定义域分别为Df、Dg的函数y=f（x）、y=g（x），规定：函数h(x)=
f(x)•g(x)(x∈Df且x∈Dg)
f(x)(x∈Df且x∉Dg)
g(x)(x∉Df且x∈Dg).

（1）若函数f(x)=
1
x-1
，g（x）=x2，写出函数h（x）的解析式；
（2）求（1）问中函数h（x）的值域．
对定义域分别是Df、Dg的函数y=f（x）、y=g（x），规定：函数h（x）=
f(x)•g(x)  (当x∈Df且x∈Dg)
f(x)  (当x∈Df且x∉Dg)
g(x)  (当x∉Df且x∈Dg)

（Ⅰ）若函数f(x)=
1
x-1
，g（x）=x2，写出函数h（x）的解析式；
（Ⅱ）求问题（1）中函数h（x）的值域；
（Ⅲ）若g（x）=f（x+α），其中α是常数，且α∈[0，π]，请设计一个定义域为R的函数y=f（x），及一个α的值，使得h（x）=cos4x，并予以证明．

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