Question

【题目】选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中,直线的参数方程为,（为参数），圆的标准方程为.以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求直线和圆的极坐标方程；

(2)若射线与的交点为,与圆的交点为,且点恰好为线段的中点,求的值.

Answer 1

【答案】（1） .（2）

【解析】分析：（1）将直线的参数方程利用代入法消去参数，可得直线的直角坐标方程，利用，可得直线的极坐标方程，圆的标准方程转化为一般方程，两边同乘以利用利用互化公式可得圆的极坐标方程；（2）联立可得，根据韦达定理，结合中点坐标公式可得，将代入，解方程即可得结果.

详解：（1）在直线的参数方程中消去可得，，

将，代入以上方程中，

所以，直线的极坐标方程为.

同理，圆的极坐标方程为.

（2）在极坐标系中，由已知可设，，.

联立可得，

所以.

因为点恰好为的中点，

所以，即.

把代入，

得，

所以.