Question

【题目】已知，函数.

（Ⅰ）若函数在上递减, 求实数的取值范围；

（Ⅱ）当时，求的最小值的最大值；

（Ⅲ）设，求证：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）的最大值为;（Ⅲ）见解析.

【解析】（Ⅰ）根据题意，由函数为减函数，其导数小于或等于零，从而可算出实数的取值范围；（Ⅱ）利用导数求出函数的极小值函数，再利用导数求出极小值函数的最大值；（Ⅲ）由（Ⅱ）可结论，对参数时行分类讨论，利用导数判断函数的单调性，并求其最小值，从而问题可得证.

试题解析：（Ⅰ） 函数在上递减, 恒有成立,

而,恒有成立,

而, 则满足条件.

（Ⅱ）当时,

	－	0	＋
	↘	极小值	↗

的最小值=，

	＋	0	－
	↗	极大值	↘

的最大值为

（Ⅲ） 当时，

所以在上是增函数，故

当时，

解得或，

综上所述：