Question

【题目】已知函数，函数．

Ⅰ若函数在和上单调性相反，求的解析式；

Ⅱ若，不等式在上恒成立，求a的取值范围；

Ⅲ已知，若函数在区间内有且只有一个零点，试确定实数a的范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

Ⅰ若函数在和上单调性相反，得到是对称轴，进行求解即可求的分析式；

Ⅱ利用参数分离法将不等式在上恒成立转化为求最值问题即可，求a的取值范围；

Ⅲ根据函数零点和方程之间的关系，判断函数的单调性，即可得到结论．

Ⅰ由单调性知，函数为二次函数，

其对称轴为，解得，

所求

Ⅱ依题意得，

即在上恒成立，

转化为在上恒成立，

在上恒成立，

转化为在上恒成立，

令，则转化为在上恒成立

即，所以

Ⅲ，

设，，，

则原命题等价于两个函数与的图象在区间内有唯一交点．

当时，在内为减函数，，为增函数，

且，，函数在区间有唯一的交点；

当时，图象开口向下，对称轴为，

在内为减函数，，为增函数，

且，

.

当时，图象开口向上，对称轴为，

在内为减函数，，为增函数，

则由，

.

综上，所求a的取值范围为