Question

关于函数f（x）=sin2x-cos2x有下列命题：
①函数y=f（x）的周期为π；                
②直线x=

π

4

是y=f（x）图象的一条对称轴；
③点(

π

8

，0)是y=f（x）图象的一个对称中心；
④(-

π

8

，

3π

8

)是函数y=f（x）的一个单调递减区间．
其中真命题的序号是

①③

．

Answer 1

分析：直接求出函数的周期判断①的正误；x=

π

4

代入y=f（x）是否确定最值，判断②的正误；x=

π

8

时，函数是否为0，判断③的正误；求出函数的单调增区间即可判断④的正误；

解答：解：函数f（x）=sin2x-cos2x=sin（2x-

π

4

），
①函数y=f（x）的周期为π；是周期的；                
②直线x=

π

4

是y=f（x）图象的一条对称轴；因为函数得不到最值，所以不正确；
③点(

π

8

，0)是y=f（x）图象的一个对称中心；x=

π

8

时，y=0所以正确；
④(-

π

8

，

3π

8

)是函数y=f（x）的一个单调递减区间．因为函数在[-

π

8

，

3π

8

]上是增函数，所以不正确；

故答案为：①③

点评：本题是基础题，考查三角函数的基本性质，对称性、单调性、周期、对称中心等，考查计算能力，逻辑推理能力．