题目内容

已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,直线l1:x=2,l2:y=-t2+8t(其中0≤t≤2.t为常数);若直线l1、l2与函数f(x)的图象以及l1,y轴与函数f(x)的图象所围成的封闭图形如阴影所示.
(Ⅰ)求a、b、c的值;
(Ⅱ)求阴影面积S关于t的函数S(t)的解析式;
(Ⅲ)若g(x)=6lnx+m,问是否存在实数m,使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有两个不同的交点?若存在,求出m的值;若不存在,说明理由.
分析:(Ⅰ)由图象可知函数图象过点(0,0),(8,0),并且f(x)的最大值为16,分别代入即可解得a、b、c的值
(Ⅱ)先求出直线l1:y=-t2+8t(其中0≤t≤2.t为常数)与抛物线f(x)=-x2+8x的交点横坐标(用t表示),再利用定积分的几何意义求两部分面积之和即可
(Ⅲ)先令H(x)=g(x)-f(x)=x2-8x+6lnx+m,要使函数f(x)与函数g(x)有且仅有2个不同的交点,则函数H(x)=x2-8x+6lnx+m的图象与x轴的正半轴有且只有两个不同的交点,再利用导数研究函数H(x)的单调性和极值,数形结合得满足题意的不等式组,解之可得m的值
解答:解:(I)由图形可知二次函数的图象过点(0,0),(8,0),并且f(x)的最大值为16
c=0
a•82+b•8+c=0
4ac-b2
4a
=16
解之得:
a=-1
b=8
c=0

∴函数f(x)的解析式为f(x)=-x2+8x
(Ⅱ)由
y=-t2+8t
y=-x2+8x
得x2-8x-t(t-8)=0,∴x1=t,x2=8-t,
∵0≤t≤2,∴直线l1与f(x)的图象的交点坐标为(t,-t2+8t)
由定积分的几何意义知:S(t)=
t
0
[(-t2+8t)-(-x2+8x)]dx+
2
t
[(-x2+8x)-(-t2+8t]dx
=[(-t2+8t)x-(-
x3
3
+4x2)] |_t+[(-
x3
3
+4x2)-(-t2+8t)•x] 
|
2
t
=-
4
3
t3+10t2-16t+
40
3

(Ⅲ)令H(x)=g(x)-f(x)=x2-8x+6lnx+m.
因为x>0,要使函数f(x)与函数g(x)有且仅有2个不同的交点,则函数H(x)=x2-8x+6lnx+m的图象与x轴的正半轴有且只有两个不同的交点
H(x)=2x-8+
6
x
=
2x2-8x+6
x
=
2(x-1)(x-3)
x
(x>0)

∴x=1或x=3时,H′(x)=0
当x∈(0,1)时,H′(x)>0,H(x)是增函数;
当x∈(1,3)时,H′(x)<0,H(x)是减函数
当x∈(3,+∞)时,H′(x)>0,H(x)是增函数
∴H(x)极大值为H(1)=m-7;H(x)极小值为H(3)=m+6ln3-15
又因为当x→0时,H(x)→-∞;当x→+∞时,H(x)→+∞
所以要使?(x)=0有且仅有两个不同的正根,必须且只须
H(1)=0
H (3)<0
H(3)=0
H(1)>0

m-7=0
m+6ln3-15<0
m+6ln3-15=0
m-7>0
,∴m=7或m=15-6ln3.
∴当m=7或m=15-6ln3.时,函数f(x)与g(x)的图象有且只有两个不同交点
点评:本题综合考查了二次函数的图象和性质、定积分的几何意义、导数与函数零点等多个知识点,解题时要综合掌握各种知识,熟练运用数形结合、分类讨论思想解决问题
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