小明家住C区.他的学校在D区.从家骑自行车到学校的路有L1.L2．两条路线.路线L1上有A1.A2.A3三个路口.各路口遇到红灯的概率均为$\frac{2}{3}$,L2路线上有B1.B2两个路口.各路口遇到红灯的概率依次为$\frac{3}{4}$.$\frac{3}{5}$． (I)若走L1.路线.求至少遇到1次红灯的概率,(Ⅱ)若走L2路线.求遇到� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

19．

小明家住C区，他的学校在D区，从家骑自行车到学校的路有L₁、L₂．两条路线（如图），路线L₁上有A₁、A₂、A₃三个路口，各路口遇到红灯的概率均为$\frac{2}{3}$；L₂路线上有B₁、B₂两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为$\frac{3}{4}$、$\frac{3}{5}$．
（I）若走L₁，路线，求至少遇到1次红灯的概率；
（Ⅱ）若走L₂路线，求遇到红灯次数X的数学期
（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助小明从上述两条路线中选择一条最好的上学路线，并说明理由．

分析（I）设“至少遇到1次红灯”为事件A，其对立事件是没有遇到红灯，利用二项分布即可得出；
（Ⅱ）利用相互独立事件的概率计算公式及离散型随机变量的期望计算公式即可得出；
（Ⅲ）由于走路线L₁时服从二项分布即可得出期望，比较走两条路的数学期望的大小即可得出要选择的路线．

解答解：（I）设“至少遇到1次红灯”为事件A，其对立事件是没有遇到红灯．
则P（A）=1-${C}_{3}^{0}×（\frac{1}{2}）^{3}$=$\frac{7}{8}$，
所以走L₁路线，至少遇到1次红灯的概率为$\frac{7}{8}$．
（Ⅱ）依题意，X的可能取值为0，1，2．
P（X=0）=（1-$\frac{3}{4}$）×（1-$\frac{3}{5}$）=$\frac{1}{10}$，P（X=1）=$\frac{3}{4}$×（1-$\frac{3}{5}$）+（1-$\frac{3}{4}$）×$\frac{3}{5}$=$\frac{9}{20}$，
P（X=2）=$\frac{3}{4}$×$\frac{3}{5}$=$\frac{9}{20}$．
随机变量X的分布列为：

X	0	1	2
P	$\frac{1}{10}$	$\frac{9}{20}$	$\frac{9}{20}$

所以EX=0×$\frac{1}{10}$+1×$\frac{9}{20}$+2×$\frac{9}{20}$=$\frac{27}{20}$．
（Ⅲ）设选择L₁路线遇到红灯次数为Y，随机变量Y服从二项分布Y～B（3，$\frac{1}{2}$），
所以EY=3×$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$．
因为EX＜EY，所以选择L₂路线上班最好．

点评熟练掌握二项分布列、相互独立事件的概率计算公式及离散型随机变量的期望计算公式及其意义是解题的关键．