Question

18．设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且acosC+$\frac{1}{2}$c=b，
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）当a=1时，求△ABC内切圆半径R的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知及正弦定理，可得sinAcosC+$\frac{1}{2}$sinC=sinB，由sinC≠0，化简解得cosA=$\frac{1}{2}$，结合A的范围即可求A的值．
（Ⅱ）由条件可得S_△ABC=$\frac{1}{2}（a+b+c）R$，且${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}bcsinA$，可求R=$\frac{\sqrt{3}}{2}•\frac{bc}{1+b+c}$，由余弦定理可得：bc=$\frac{（b+c）^{2}-1}{3}$，解得R=$\frac{\sqrt{3}}{6}$（b+c-1），
结合基本不等式可得$\frac{（b+c）^{2}-1}{3}$≤（$\frac{b+c}{2}$）²，解得b+c的范围，从而可求R的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由正弦定理，可得sinAcosC+$\frac{1}{2}$sinC=sinB，
因为sinB=sin（A+C），所以sinAcosC+$\frac{1}{2}$sinC=sin（A+C），所以$\frac{1}{2}$sinC=cosAsinC，
因为sinC≠0，所以cosA=$\frac{1}{2}$，
因为0＜A＜π，所以A=$\frac{π}{3}$…4分
（Ⅱ）∵S_△ABC=$\frac{1}{2}（a+b+c）R$，且${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}bcsinA$，且a=1，A=$\frac{π}{3}$，
∴$\frac{1}{2}（1+b+c）$R=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc，
∴R=$\frac{\sqrt{3}}{2}•\frac{bc}{1+b+c}$，
由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，可得1=b²+c²-bc，
∴（b+c）²=1+3bc，
∴bc=$\frac{（b+c）^{2}-1}{3}$，
∴R=$\frac{\sqrt{3}}{6}$（b+c-1），
∵bc≤（$\frac{b+c}{2}$）²，
∴$\frac{（b+c）^{2}-1}{3}$≤（$\frac{b+c}{2}$）²，解得0≤b+c≤2，
∴R≤$\frac{\sqrt{3}}{6}$，即有R_min=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，当且仅当b=c=1时取得．
∴△ABC内切圆半径R的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{6}$…12分

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积的求法，基本不等式的应用等知识的应用，综合性较强，属于中档题．