Question

12．设函数f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$）+sin²x
（1）求f（x）的最小正周期和单调增区间；
（2）设函数g（x）对任意x∈R，有$g（x+\frac{π}{2}）=g（x）$，且当$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$时，g（x）=$\frac{1}{2}$-f（x），求g（x）在区间[-π，0]上的解析式．

Answer 1

分析 （1）利用两角和的余弦函数以及二倍角公式化简函数的表达式，直接利用周期公式求解即可．
（2）求出函数g（x）的周期，利用x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，g（x）=$\frac{1}{2}$-f（x），对x分类求出函数的解析式即可．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$）+sin²x
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2x）+$\frac{1-cos2x}{2}$
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$sin2x．
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$，由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z可得单调增区间为：[kπ$+\frac{π}{4}$，kπ+$\frac{3π}{4}$]，k∈Z．
（2）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时g（x）=$\frac{1}{2}$-f（x）=$\frac{1}{2}$sin2x．
当x∈[-$\frac{π}{2}$，0]时，x+$\frac{π}{2}$∈[0，$\frac{π}{2}$]，g（x）=g（x+$\frac{π}{2}$）=$\frac{1}{2}$sin2（x+$\frac{π}{2}$）=-$\frac{1}{2}$sin2x．
当x∈[-π，-$\frac{π}{2}$）时，x+π∈[0，$\frac{π}{2}$]，g（x）=g（x+π）=$\frac{1}{2}$sin2（x+π）=$\frac{1}{2}$sin2x．
g（x）在区间[-π，0]上的解析式：g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}sin2x}&{x∈[-\frac{π}{2}，0]}\\{\frac{1}{2}sin2x}&{x∈[-π，-\frac{π}{2}]}\end{array}\right.$．

点评 本题考查三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数的化简，考查计算能力，属于基本知识的考查．