Question

【题目】如图，三棱柱中， 平面， .过的平面交于点，交于点.

(l)求证： 平面；

(Ⅱ)求证： ；

(Ⅲ)记四棱锥的体积为，三棱柱的体积为.若，求的值．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ) .

【解析】试题分析：(l)因为平面，由线面垂直的性质可得，根据菱形的性质可得，利用线面垂直的判定定理可得平面；(Ⅱ)由， 平面，所以 平面，利用线面平行的性质定理可得；(Ⅲ) 记三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，先证明，所以 ，结合， 可得 ，而三棱柱与三棱柱等高，由此得 ．

试题解析：（1） 因为 平面，所以 ．

在三棱柱中，因为 ，所以 四边形为菱形，

所以 ． 所以 平面．

（2）在 三棱柱中，

因为 ， 平面，所以 平面．

因为 平面平面，所以 ．

（3）记三棱锥的体积为，三棱柱的体积为.

因为三棱锥与三棱柱同底等高，

所以 ， 所以 .

因为 ， 所以 . 因为 三棱柱与三棱柱等高，

所以 △与△的面积之比为， 所以 ．