Question

5．已知圆M的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=cosφ\\ y=sinφ\end{array}\right.（φ$为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆N的极坐标方程为$ρ=2cos（θ+\frac{π}{3}）$．
（1）将圆M的参数方程化为普通方程，将圆N的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）圆M，N是否相交，若相交，请求出公共弦长，若不相交请说明理由．

Answer 1

分析 （1）运用同角的平方关系可得圆M的普通方程，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ²=x²+y²，结合两角和的余弦公式，化简配方即可得到圆N的方程；
（2）由圆心距与半径的和与差的关系，即可判断位置关系，求得交点，可得弦长．

解答 解：（1）由cos²φ+sin²φ=1，可得
圆M的普通方程为：x²+y²=1；
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ²=x²+y²，
ρ=2cos（θ+$\frac{π}{3}$）=2（$\frac{1}{2}$cosθ-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinθ），
即有x²+y²=x-$\sqrt{3}$y，
配方可得，圆N直角坐标方程为：${（x-\frac{1}{2}）^2}+{（y+\frac{{\sqrt{3}}}{2}）^2}=1$；
（2）圆心（0，0）和圆心（$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）的距离为d=1＜2，
所以两圆相交，
设交点为A，B，则由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+{y^2}=1\\{x^2}+{y^2}-x+\sqrt{3}y=0\end{array}\right.$，
得$A（1，0），B（-\frac{1}{2}，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，∴$|AB|=\sqrt{3}$．

点评 本题考查参数方程和极坐标方程与普通方程的转化，考查两圆的位置关系的判断和弦长的求法，考查运算能力，属于中档题．