Question

已知椭圆C：

x2

16

+

y2

9

=1和点P（1，2），直线l经过点P并与椭圆C交于A、B两点，求当l的倾斜角变化时，弦中点的轨迹方程．

Answer 1

分析：设弦中点为M（x，y），交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．当M与P不重合时，A、B、M、P四点共线．故（y₂-y₁）（x-1）=（x₂-x₁）（y-2）．再由点差法知

2x(x1-x2)

16

=-

2y(y1-y2)

9

，由此可得：9x²+16y²-9x-32y=0．

解答：解：设弦中点为M（x，y），交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．当M与P不重合时，A、B、M、P四点共线．
∴（y₂-y₁）（x-1）=（x₂-x₁）（y-2），①
由

x12

16

+

y12

9

=1，

x22

16

+

y22

9

=1两式相减得

(x1-x2) (x1+x2)

16

+

(y1-y2)  (y1+y2)

9

=0．
又x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，
∴

2x(x1-x2)

16

=-

2y(y1-y2)

9

，②
由①②可得：9x²+16y²-9x-32y=0，③
当点M与点P重合时，点M坐标为（1，2）适合方程③，
∴弦中点的轨迹方程为：9x²+16y²-9x-32y=0．

点评：本题考查轨迹方程的求法，解题时要注意点差法的合理运用．