Question

坐标系与参数方程 
已知椭圆C：

x2

16

+

y2

9

=1与x正半轴、y正半轴的交点分别为A，B，动点P是椭圆上任一点，求△PAB面积的最大值．

Answer 1

分析：根据椭圆的方程算出A（4，0）、B（0，3），从而得到|AB|=5且直线AB：3x+4y-12=0．设点P（4cosθ，3sinθ），由点到直线的距离公式算出P到直线AB距离为d=

12

5

|

2

sin（θ+

π

4

）-1|，结合三角函数的图象与性质算出d_max=

2

+1，由此结合三角形面积公式，即可得到△PAB面积的最大值．

解答：解：∵椭圆C方程为：

x2

16

+

y2

9

=1，
∴椭圆与x正半轴交于点A（4，0），与y正半轴的交于点B（0，3），
∵P是椭圆上任一个动点，设点P（4cosθ，3sinθ）（θ∈[0，2π]）
∴点P到直线AB：3x+4y-12=0的距离为
d=

|12cosθ+12sinθ-12|

32+42

=

12

5

|

2

sin（θ+

π

4

）-1|
由此可得：当θ=

5π

4

时，d_max=

12

5

（

2

+1）
∴△PAB面积的最大值为S=

1

2

|AB|×d_max=6（

2

+1）

点评：本题给出椭圆的右顶点为A、上顶点为B，求椭圆上动点P与AB构成三角形的面积最大值，着重考查了椭圆的标准方程、参数方程，点到直线的距离和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．