题目内容
9．设x≥0，利用求函数的最大（小）值的方法证明不等式：x3+4≥3x2．（提示：令f（x）=x3-3x2+4（x≥0））分析 通过令f（x）=x3-3x2+4（x≥0），并对其求导判断函数f（x）的单调性，进而求出最小值，整理即得结论．
解答 证明：令f（x）=x3-3x2+4（x≥0），
则f′（x）=3x2-6x=3x（x-2），
令f′（x）=0可知x=0或x=2，
故在区间[0，2]上f′（x）＜0，即函数f（x）=x3-3x2+4单调递减，
在区间[2，+∞）上f′（x）＞0，即函数f（x）=x3-3x2+4单调递增，
于是函数f（x）=x3-3x2+4在区间[0，+∞）上的最小值f（x）min=f（2）=23-3×22+4=0，
故当x≥0时f（x）≥0，即x3-3x2+4≥0，x3+4≥3x2．
点评 本题考查函数最值及其几何意义，考查利用导数判断函数的单调性，注意解题方法的积累，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
19．8名同学排成2排，每排4人，共有多少种排法（ ）
| A． | 2${A}_{4}^{4}$ | B． | ${A}_{4}^{4}$•${A}_{3}^{3}$ | C． | ${A}_{4}^{4}$•${A}_{4}^{4}$ | D． | ${A}_{8}^{8}$ |
14．若非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$|$\overrightarrow{b}$|，且（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）⊥（3$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$），则$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为（ ）
| A． | $\frac{π}{4}$ | B． | $\frac{π}{2}$ | C． | $\frac{2π}{3}$ | D． | $\frac{3π}{4}$ |