Question

17．函数f（x）=ax²+2x+2在x∈[1，4]上恒满足f（x）＞0，则a的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{1}{2}$，+∞）
• B． （-4，+∞）
• C． （-$\frac{5}{8}$，+∞）
• D． [-$\frac{5}{8}$，+∞）

Answer 1

分析 分离变量，得到a＞-$\frac{2}{x}$-$\frac{2}{{x}^{2}}$，利用换元法结合二次函数的闭区间上的最值求解，即可得到a的取值范围．

解答 解：函数f（x）=ax²+2x+2在x∈[1，4]上恒满足f（x）＞0，
即a＞$-\frac{2x+2}{{x}^{2}}$=-$\frac{2}{x}$-$\frac{2}{{x}^{2}}$，
令t=$\frac{1}{x}$，t∈[$\frac{1}{4}$，1]，记m（t）=-2t²-2t，对称轴为t=-$\frac{1}{2}$，
t∈[$\frac{1}{4}$，1]，m（t）是减函数，
则m（t）_max=m（$\frac{1}{4}$）=-$\frac{5}{8}$，∴a＞-$\frac{5}{8}$．
故选：C．

点评 考查二次函数的对称轴及二次函数的单调性，以及根据函数的单调性求函数的最小值．