Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)左右两焦点为F₁，F₂，P为右支上一点，PF₂⊥F₁F₂，OH₂⊥PF₁于H，OH=λOF₁，λ∈[

1

3

，

1

2

]．
（1）求双曲线的离心率e的取值范围；
（2）当e取得最大值时，过F₁，F₂，P的圆截y轴的线段长为4，求该圆方程．

Answer 1

分析：（1）用λ表示离心率的平方，据λ的范围求出离心率平方得最值，可得离心率的范围，
（2）确定圆心位置及直径，进而得到半径，写出圆的标准方程．

解答：解：（1）由题意 e2=

c2

a2

=1+

b2

a2

=1+

2λ

1-λ

=1+

2[1-(1-λ)]

1-λ

=

2

1-λ

-1=-1-

2

λ-1

，在 [

1

3

，

1

2

]上单调递增函数．
∴λ=

1

2

时，e²最大3，λ=

1

3

时，e²最小 2，
∴2≤e²≤3，∴

2

≤e≤

3

．
（2）当 e=

3

时，

c

a

=

3

，∴c=

3

a，∴b²=2a²．
∵PF₂⊥F₁F₂，∴PF₁是圆的直径，圆心是PF₁的中点，
∴在y轴上截得的弦长就是直径，∴PF₁=4．
又 PF1=2a+

b2

a

=2a+

2a2

a

=4a，∴4a=4，a=1，c=

3

，b=

2

．
∴PF2=

b2

a

=2a=2，圆心C（0，1），半径为2，x²+（y-1）²=4．

点评：本题的考点是圆与圆锥曲线的综合，主要考查圆的标准方程、双曲线的性质、直线和圆锥曲线的关系． 关键是用λ表示离心率的平方，进而得解．