题目内容

已知空间三点A（0，2，3），B（-2，1，6），C（1，-1，5）．
（1）求以
AB
，
AC
为边的平行四边形的面积；
（2）若|
a
|=
3
，且
a
分别与
AB
，
AC
垂直，求向量
a
的坐标．
考点：空间向量的数量积运算
专题：空间向量及应用
分析：（1）由题意可得：
AB
=（-2，-1，3），
AC
=（1，-3，2），cos＜
AB
，
AC
＞=
1
2
，sin＜
AB
，
AC
＞=
3
2
，由此能求出以
AB
，
AC
为边的平行四边形的面积．
（2）设
a
=（x，y，z），由题意得
x2+y2+z2=3
-2x-y+3z=0
x-3y+2z=0
，由此能求出向量
a
的坐标．
解答： 解：（1）由题意可得：
AB
=（-2，-1，3），
AC
=（1，-3，2），
∴cos＜
AB
，
AC
＞=
AB
•
AC
|
AB
||
AC
|
=
-2+3+6
14
×
14
=
7
14
=
1
2
，…（4分）
∴sin＜
AB
，
AC
＞=
3
2
，
∴以
AB
，
AC
为边的平行四边形的面积：
S=2×
1
2
|
AB
||
AC
|sin＜
AB
，
AC
＞=14×
3
2
=7
3
…（6分）
（2）设
a
=（x，y，z），
由题意得
x2+y2+z2=3
-2x-y+3z=0
x-3y+2z=0
，
解得
x=1
y=1
z=1
，或
x=-1
y=-1
z=-1
，
∴
a
=（1，1，1），或
a
=（-1，-1，-1）．…（12分）
点评：本题考查平行四边形面积的求法，考查向量的坐标的求法，解题时要认真审题，是基础题．
练习册系列答案
相关题目
求下列函数的定义域：
（1）y=
1
cosx-1
；         
（2）y=
2sinx-1
．
（文）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AA1=AB=AC=1，∠ABC=
π
4
，D是CC1的中点，点M在线段A1B1上．
（1）当M为A1B1中点时，求异面直线DM与AB所成角的大小．
（2）指出直线CC1与平面MAB的位置关系（不用证明），并求三棱锥D-MAB的体积．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=2，点P在椭圆上，且△PF1F2，的周长为6．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若点P的坐标为（2，1），不过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B不同两点，设线段AB的中点为M，且M，O，P三点共线．设点P到直线l的距离为d，求d的取值范围．
甲、乙两个林果示范园区分别培育了某种珍稀果木2400株与2000株，两个林果示范园区的果木除使用了不同的肥料外，其他条件基本一致，上级林果部门为了了解这些果木的生长情况，采用分层抽样的方法从这两个示范园区一共测量了55株，并将这55株的高度（单位：cm）作出了频数分布统计表如下：
甲示范区
分组 [70，80） [80，90） [90，100） [100，110）
频数 1 2 4 8
分组 [110，120） [120，130） [130，140） [140，150）
频数 8 x 1 1
乙示范区
分组 [70，80） [80，90） [90，100） [100，110）
频数 1 1 4 5
分组 [110，120） [120，130） [130，140） [140，150）
频数 5 5 y 1
（Ⅰ）计算x，y的值；
（Ⅱ）若规定高度在[120，150]内为生长情况优秀，在甲示范区所抽取的果木中任2株，设X为生长情况优秀的果木株数，求X的分布列及期望；
（Ⅲ）由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为两个示范园区的果木生长情况与使用的肥料有关．
甲示范园区 甲示范园区 总计
优秀
 
 
 
非优秀
 
 
 
总计
 
 
 
参考数据与公式：
K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

临界值表：
P（K2≥k0） 0.10 0.05 0.010
k0 2.706 3.841 6.635
某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．
sin245°+cos270°+sin45°cos75°
sin215°+cos245°+sin15°cos45°
sin236°+cos266°+sin36°cos66°
sin2（-15°）+cos215°+sin2（-15°）cos15°
sin2（-45°）+cos2（-15°）+sin（-45°）cos（-15°）
（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
已知函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）的最小正周期是
2π
3
，最小值为-2，且图象过（
5π
9
，0），求该函数的解析式．
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosB=
4
5
，a=5c．
（1）求sinC的值；
（2）若△ABC的面积S=
3
2
sinAsinC，求b的值．
在1和25之间加入5个数，使它们成等差数列，则通项公式an=
 
．

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