Question

2．一艘轮船在江中向正东方向航行，在点P处观测到灯塔A、B在一直线上，并且此直线与航行方向成30°角，轮船沿航线前进600米到达C处，此时观测到灯塔A在北偏西45°方向，灯塔B在北偏东15°方向．求两灯塔之间的距离．

Answer 1

分析 先根据条件求出题中所涉及到的角，再根据正弦定理分别求出PB，PA，即可得到结论．

解答 解：由题得：PC=600，∠ACP=45°，∠PAC=105°，∠PCB=105°，∠PBC=45°．
在△BCP中，$\frac{PB}{sin∠PCB}$=$\frac{PC}{sin∠PBC}$⇒PB=PC•$\frac{sin105°}{sin45°}$=300+300$\sqrt{3}$；
在△ACP中，$\frac{PC}{sin∠PAC}=\frac{PA}{sin∠PCA}$⇒PA=PC•$\frac{sin45°}{sin105°}$=600×（$\sqrt{3}$-1）；
∴AB=PB-PA=300+300$\sqrt{3}$-600（$\sqrt{3}$-1）=900-300$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查解三角形的实际应用．一般解决这类问题时用正弦定理或余弦定理，本题主要涉及到正弦定理的运用以及特殊角的三角函数值．