Question

已知函数=，
（1）求函数的单调区间
（2）若关于的不等式对一切（其中）都成立，求实数的取值范围；
（3）是否存在正实数，使？若不存在，说明理由；若存在，求取值的范围

Answer 1

（1）单调递增区间是（），单调递减区间是（2）时，；时，；时，（3）当时，，此时

试题分析：（1）的定义域为，，令，得

	（）
	＋		＿
	增		减

所以的单调递增区间是（），单调递减区间是  3分
（２）∵不等式对一切（其中）都成立，
∴对一切（其中）都成立 即时，
∵
①当时，即时，在上单调递增，＝＝
②时，在上单调递减，＝＝
③，即时，在上单调递增，上单调递减，
＝＝
综上，时，；时，；时， 9分
（３）存在  10分
即，
＝在上有两个不同点的函数值相等
∵在（）单调递增，在上单调递减
当时，，时，，数形结合知
当时，，此时
点评：求函数单调区间通常利用导数的正负解决，第二问中将不等式恒成立问题转化为函数最值问题，这是常用的转化思路，但要注意分情况讨论得到不同的最值，第三问对于条件指数式将其转化为对数式从而和已知函数发生联系，这种转化学生可能不易想到