Question

17．已知平行四边形ABCD的对角线分别为AC，BD，且$\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{EC}$，且$\overrightarrow{BF}=3\overrightarrow{FD}$，则（　　）

• A． $\overrightarrow{FE}=-\frac{1}{12}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{12}\overrightarrow{AD}$
• B． $\overrightarrow{FE}=-\frac{1}{12}\overrightarrow{AB}-\frac{5}{12}\overrightarrow{AD}$
• C． $\overrightarrow{FE}=\frac{5}{12}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{12}\overrightarrow{AD}$
• D． $\overrightarrow{FE}=\frac{5}{12}\overrightarrow{AB}-\frac{5}{12}\overrightarrow{AD}$

Answer 1

分析 由向量的共线定理可知：$\overrightarrow{OE}$=$\overrightarrow{AE}$-$\overrightarrow{AO}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{OF}$=$\overrightarrow{BF}$-$\overrightarrow{BO}$=$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{BD}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{BD}$，由向量的运算法则可知：$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{AB}$，由$\overrightarrow{FE}$=$\overrightarrow{OE}$-$\overrightarrow{OF}$，代入即可求得$\overrightarrow{FE}$．

解答 解：由$\overrightarrow{FE}$=$\overrightarrow{OE}$-$\overrightarrow{OF}$，
$\overrightarrow{OE}$=$\overrightarrow{AE}$-$\overrightarrow{AO}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{AC}$，
$\overrightarrow{OF}$=$\overrightarrow{BF}$-$\overrightarrow{BO}$=$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{BD}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{BD}$，
$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$，
$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{AB}$，
$\overrightarrow{∴}$$\overrightarrow{FE}$=$\frac{1}{6}$（$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{AB}$）-$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$）=$\frac{5}{12}$$\overrightarrow{AB}$-$\frac{1}{12}$$\overrightarrow{AD}$，
故选C．

点评 本题考查向量的运算法则，向量的共线定理，考查数形结合思想，属于中档题．