Question

已知点P（x，y）是椭圆

x2

2

+y²=1上的点，M（m，0）（m＞0）是定点，若|MP|的最小值等于

5

3

，则m=

2

3

或

2

+

5

3

．

Answer 1

分析：根据椭圆方程，结合两点间的距离公式，得|MP|²=F（x）=

1

2

x²-2mx+1+m²，因为抛物线y=F（x）关于直线直线x=2m对称，且P点横坐标x∈[-

2

，

2

]，所以分2m＞

2

和2m≤

2

两种情况，分别对F（x）的最小值为

5

9

进行讨论，解之即可得到实数m的值，从而得到本题答案．

解答：解：∵点P（x，y）是椭圆

x2

2

+y²=1上的点，
∴y²=1-

x2

2

，由此可得|MP|²=（x-m）²+y²=（x-m）²+（1-

x2

2

），
化简可得，得|MP|²=F（x）=

1

2

x²-2mx+1+m²，
函数y=F（x）的图象是一条抛物线，关于直线x=2m对称
∵P点横坐标x∈[-

2

，

2

]
∴对F（x）的最小值分两种情况加以讨论
①当2m＞

2

时，即m＞

2

2

时，F（x）在[-

2

，

2

]上为减函数，
∴[F（x）]_最小值=F（

2

）=m2-2

2

m+2=（

5

3

）²，解之得m=

2

+

5

3

（负值舍去）
②当2m≤

2

时，即0＜m≤

2

2

时，F（x）在[-

2

，2m]上为减函数，在[2m，

2

]上为增函数，
∴[F（x）]_最小值=F（2m）=1-m²=（

5

3

）²，解之得m=

2

3

（负值舍去）．
综上所述，m的值为

2

3

或

2

+

5

3

故答案为：

2

3

或

2

+

5

3

点评：本题给出椭圆上一个动点，在已知它到定点（m，0）的最小距离情况下求实数m之值，着重考查了椭圆的简单几何性质和二次函数在给定区间上求最值等知识，属于中档题．