Question

17．已知函数f（x）的定义域为R，且f（x）＞1-f′（x），f（0）=4，则不等式f（x）＞1+e^ln3-x的解集为（　　）

• A． （0，+∞）
• B． $（{\frac{1}{2}，+∞}）$
• C． （1，+∞）
• D． （e，+∞）

Answer 1

分析 问题转化为e^xf（x）-e^x-3＞0，令F（x）=e^xf（x）-e^x-3，根据函数的单调性求出F（x）＞0=F（0）的解集即可．

解答 解：由题意得：
f（x）＞1+e^ln3-x，
?f（x）-1＞e^ln3-x
?f（x）-1＞$\frac{3}{{e}^{x}}$
?e^xf（x）-e^x-3＞0，
令F（x）=e^xf（x）-e^x-3，
故F′（x）=e^x[f（x）+f′（x）-1]，
∵f（x）＞1-f′（x），
故f（x）+f′（x）＞1，
故F′（x）＞0，
故函数F（x）在R递增，
由F（0）=0，
故F（x）＞0的解集是（0，+∞），
故选：A．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．