Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=（n-1）²（n∈N^*），数列{b_n}满足a_n=2log₃b_n-1（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}和数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a_nb_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）利用“当n=1时，a₁=S₁．当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1”即可得出a_n．再利用指数式与对数式的互化即可得出b_n．
（II）利用等比数列的前n项和公式、“错位相减法”即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）∵S_n=（n-1）²（n∈N^*），
∴当n=1时，a₁=S₁=0．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（n-1）²-（n-2）²=2n-3．
∴a_n=

0，n=1 2n-3，n≥2

．
又∵a_n=2log₃b_n-1，
∴b_n=3

an+1

2

=

3 ，n=1 3n-1，n≥2

．
（Ⅱ）（1）当n=1时，T_n=0．
（2）当n≥2时
T_n=1×3¹+3×3²+5×3³+…+（2n-3）×3^n-1
∴3T_n=1×3²+3×3³+…+（2n-5）×3^n-1+（2n-3）×3ⁿ，
∴-2T_n=1×3¹+2×3²+2×3³+…+2×3^n-1-（2n-3）×3ⁿ
=1×3¹+

2×32(3n-2-1)

3-1

-（2n-3）×3ⁿ
=-2[（n-2）3ⁿ+3]
∴T_n=（n-2）3ⁿ+3
综合（1）（2）得T_n=（n-2）3ⁿ+3．

点评：本题考查了利用“当n=1时，a₁=S₁．当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1”求通项公式、指数式与对数式的互化、等比数列的前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力和计算能力，属于难题．