Question

20．已知直线l的极坐标方程为ρsin（θ+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=sinφ}\end{array}\right.$．（φ为参数）
（1）写出直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；
（2）求直线l被曲线C截得的弦长．

Answer 1

分析 （1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出直线l的直角坐标方程，曲线C的参数方程消去参数φ能求出曲线C的普通方程．
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{\sqrt{3}x+y-2\sqrt{3}=0}\end{array}\right.$，得13x²-48x+44=0，由此利用根的判别式、韦达定理、参数方程能求出弦长|AB|．

解答 解：（1）∵直线l的极坐标方程为ρsin（θ+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，
∴$ρ（sinθcos\frac{π}{3}+cosθsin\frac{π}{3}）$=$\frac{1}{2}ρsinθ+\frac{\sqrt{3}}{2}ρcosθ$=$\sqrt{3}$，
∴直线l的直角坐标方程为$\sqrt{3}x+y$-2$\sqrt{3}$=0．
∵曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=sinφ}\end{array}\right.$．（φ为参数）
∴消去参数φ得曲线C的普通方程为：
$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（2）联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{\sqrt{3}x+y-2\sqrt{3}=0}\end{array}\right.$，得13x²-48x+44=0，
△=（-48）²-4×13×44=16，
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{48}{13}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{44}{13}$，
∴弦长|AB|=$\sqrt{1+（-\sqrt{3}）^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=2$\sqrt{（\frac{48}{13}）^{2}-4×\frac{44}{13}}$=2×$\frac{4}{13}$=$\frac{8}{13}$．

点评 本题考查直线的直角坐标方程，曲线的普通方程的求法，考查弦长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极坐标、直角坐标互化公式、韦达定理、弦长公式的合理运用．