题目内容
【题目】十九大提出：坚决打赢脱贫攻坚战，做到精准扶贫.某县积极引导农民种植一种名贵中药材，从而大大提升了该县村民的经济收入.2019年年底，该机构从该县种植的这种名贵药材的农户中随机抽取了100户，统计了他们2019年因种植，中药材所获纯利润(单位：万元)的情况(假定农户因种植中药材这一项一年最多获利11万元)，统计结果如下表所示：
（1）由表可以认为，该县农户种植中药材所获纯利润Z(单位：万元)近似地服从正态分布
，其中
近似为样本平均数
(每组数据取区间的中点值)，
近似为样本方差
.若该县有1万户农户种植了该中药材，试估算所获纯利润Z在区间(1.9，8.2)的户数；
（2）为答谢广大农户的积极参与，该调查机构针对参与调查的农户举行了抽奖活动，抽奖规则如下：在一箱子中放置5个除颜色外完全相同的小球，其中红球1个，黑球4个.让农户从箱子中随机取出一个小球，若取到红球，则抽奖结束；若取到黑球，则将黑球放回箱中，让他继续取球，直到取到红球为止(取球次数不超过10次).若农户取到红球，则视为中奖，获得2000元的奖励，若一直未取到红球，则视为不中奖.现农户张明参加了抽奖活动，记他中奖时取球的次数为随机变量X，他取球的次数为随机变量Y.
①证明：
为等比数列；
②求Y的数学期望.(精确到0.001)
参考数据：
.若随机变量
则
.
【答案】（1）
；（2）①证明见解析；②
..
【解析】
(1)根据题意求出样本平均数
即可得出
即
,则可根据
,求出其所获纯利润Z在区间(1.9，8.2)的户数；
(2) ①因为每次取球都恰有
的概率取到红球,即
，则可证明之.
②根据①所求的,根据当
时,
,代入
,再利用错位相减求出其值即可.
（1）由题意知：
所以样本平均数为
（万元），
所以，
所以，
而
.
故1万户农户中，Z落在区间
的户数约为
.
（2）①每次取球都恰有的概率取到红球.
则有
，
，
故
为以为首项
为公比的等比数列.
②由①可知，当时,,
.
故Y的数学期望为
设
，
则
，
两式作差得
,
.
