Question

5．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3acosC=2ccosA，且b=2$\sqrt{5}$，c=3．
（1）求a的值；
（2）求sin（B+$\frac{π}{4}$）的值．

Answer 1

分析 （1）使用余弦定理将角化边，得出a，b，c的关系，解出a；
（2）利用余弦定理求出cosB，计算sinB，利用和角余弦公式计算．

解答 解：（1）∵3acosC=2ccosA，∴3a×$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=2c×$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$．
∴5a²-5c²+b²=0．∵b=2$\sqrt{5}$，c=3，∴a=$\sqrt{5}$．
（2）由余弦定理得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∴sinB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴sin（B+$\frac{π}{4}$）=sinBcos$\frac{π}{4}$+cosBsin$\frac{π}{4}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{5}}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

点评 本题考查了余弦定理，三角函数的恒等变换，解三角形，属于中档题．